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问题： 证明 $\dfrac{\pi}{4} = 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\cdots$ 使用简单的微积分可以得到： $$ \begin{split} 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots &= \int_0^1 (1-x^2+x^4-\cdots)dx \\ &= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx \\ &= \tan^{-1}(1) \\ &= \frac{\pi}{4} \end{split} $$ 我们选择从另外一种方式来得出这个等式，从圆的定义开始。 计算圆内...

问题： 在只考虑重力作用的情况下，一质点从点 A 沿某条曲线到点 B，问怎样的曲线能使所需时间最短？ 这一问题被称为最速降线问题（Brachistoc...

问题： 对于任意的闭合连续曲线，是否总能在其上找到四个点形成一个矩形？ 首先我们不再关注单个而是成对的点，并利用矩形的性质：对于平面上任意两对不...

问题： 如何使 $1+2+2^2+\cdots=-1$？从已知的数学中拓展至新数学。 对于一个无限项求和： $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 $$ 它的意义是：我们可以无限靠近...

问题： 假设一位音乐天才，对任何频率之比为有理数的一对音符都觉得悦耳，那么他是否会觉得所有的音符都是悦耳的？ 详细说明：当一对音符的频率比为有理...