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问题： 一条项链上有 $n$ 种类型的珠宝，每种珠宝的数量均为偶数。问至少需要切几刀，可以将所有珠宝均分？ 首先介绍 Borsuk-Ulam Theorem： 想象一个三维空间中的球面被扭曲压缩到二维平面上，由于变形是连续的，因此球面上有许多点重合在了一起。Borsuk-Ulam 定理告诉我们总能找到这样的两个点，它们一开始在球面上处于完全相反的两极，经过映射后会重合在一起。 ...

问题： 证明 $\dfrac{\pi}{4} = 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\cdots$ $$ \begin{split} 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots &= \int_0^1 (1-x^2+x^4-\cdots)dx \\ &= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx \\ &= \tan^{-1}(1) \\ &= \frac{\pi}{4} \end{split} $$ 我们选择从另外一种方式来得出这个等式，从圆的定义开始。 计算圆内格点数目 如果将二维平面划分为网格，并画出半径为 $r$ 的圆，圆内包含的格点数应该大约等于 $\pi r^2$，并且当 $r\to+\infty$ 时，两者应该无限接近，这即给出了一个计算 $\pi$ 的方法。 ...

问题： 在只考虑重力作用的情况下，一质点从点 A 沿某条曲线到点 B，问怎样的曲线能使所需时间最短？ 这一问题被称为最速降线问题（Brachistochrone），由约翰·伯努利在 1696 年提出。 ...

问题： 对于任意的闭合连续曲线，是否总能在其上找到四个点形成一个矩形？ 首先我们不再关注单个而是成对的点，并利用矩形的性质：对于平面上任意两对不同的点 $a, c$ 和 $b, d$，只需确保它们有相同的中点，且 $a, c$ 间的距离等于 $b, d$ 点的距离，那么即可以保证这四个点可以组成矩形。这样寻找内接矩形问题就转化为了寻找两对点的问题。 ...

问题： 如何使 $1+2+2^2+\cdots=-1$？从已知的数学中拓展至新数学。 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 $$$$ \begin{align*} &(1-p) + p(1-p) + p^2(1-p) \cdots = 1 \\ \implies & \sum_{n=0}^\infty p^n = \frac{1}{1-p} \end{align*} $$ 该式只在 $0...

问题： 假设一位音乐天才，对任何频率之比为有理数的一对音符都觉得悦耳，那么他是否会觉得所有的音符都是悦耳的？ 详细说明：当一对音符的频率比为有理数且分母较小时，这样的音符称为「协和的」，会使我们觉得悦耳，当分母较大时，其中的规律便不容易被发现。我们假设一位音乐奇才可以听出任何频率之比为有理数的音符。由于对于无理数，总存在一个有理数无限接近于它，那么频率之比为无理数的音符对于他来说是否仍然悦耳呢？ ...