Math

Various ways of distributing balls into cells. ...

It is extremely difficult, and often impossible, to prevent errors when data are stored, retrieved, operated on, or transmitted. ...

Any mathematical system containing all the theorems of arithmetic is an incomplete system. ...

问题： 证明 $1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$ 这一问题实际上有多种代数方法证明，但由于公式中出现了 $\pi$ ，则必定在几何学中可以找到圆来对应。 想象一位观察者站在数轴的原点，并在所有...

问题： 在圆上任取 $n$ 个点，将每对点用直线连接，并规定三条线不能交于一点，这些直线会将圆分割成多少份？ 首先我们列出一些简单情况来寻找规律： $2$ 个点...

想象你的麦克风在录制一段由四个纯音同时播放的音频，由于其只能捕捉气压——时间图像，因此最后的结果看起来相当复杂： Pressure-Time 如果给定这样一段音频，该如...

问题： 在球面上随机选择四点组成四面体，问球心落在该四面体内部的概率？ 首先将问题简化，考虑二维情形：在圆上随机选择三点 $P_1, P_2, P_3$ 组成三角形，求圆心...

问题： 一条项链上有 $n$ 种类型的珠宝，每种珠宝的数量均为偶数。问至少需要切几刀，可以将所有珠宝均分？ 首先介绍 Borsuk-Ulam Theorem： 想象一个三维空间中...

问题： 证明 $\dfrac{\pi}{4} = 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\cdots$ 使用简单的微积分可以得到： $$ \begin{split} 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots &= \int_0^1 (1-x^2+x^4-\cdots)dx \\ &= \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx \\ &= \tan^{-1}(1) \\ &= \frac{\pi}{4} \end{split} $$ 我们选择从另外一种方式来得出这个等式，从圆的定义开始。 计算圆内...

问题： 在只考虑重力作用的情况下，一质点从点 A 沿某条曲线到点 B，问怎样的曲线能使所需时间最短？ 这一问题被称为最速降线问题（Brachistoc...