Math

问题： 对于集合 $\{1,2,\dots, 2000\}$，有多少个子集满足子集中所有数字的和可以被 $5$ 整除？ 递推法 首先对集合进行分组 $A_n = \{5n-4, \dots, 5n\}$。对于任意 $A_n$，其子集中所有数字的和对 $5$ 取余的结果与 $A_1$ 相同。可以得到结果为 $0,1,2,3,4$ 的个数分别为 $8,6,6,6,6$。注意空集也满足条件（认为空集的所有数字和为 $0$）。 ...

IMO 2011 年的第 2 题： 设 $S$ 是平面上包含至少两个点的有限点集，并且其中任意三点不共线。定义一个「风车」过程：直线 $l$ 从 $S$ 中一点 $P$ 开始，绕 $P$ 顺时针旋转，直到 $l$ 碰到 $S$ 中另一点 $Q$。此时 $Q$ 变为 $l$ 的新旋转中心，$l$ 继续顺时针旋转，直到直线再次碰到 $S$ 中的某一点。此过程将一直持续下去。证明可在 $S$ 中选一点和过该点的一条直线，使得对应的「风车」过程中，$S$ 中的所有点都将无限次地作为旋转中心。 ...

使用 dual graph 证明欧拉公式：$V-E+F=2$ 对于一个 connected planar graph $G$，如下图蓝色部分所示，其所对应的 dual graph $G^*$ 则为红色部分： $G^*$ 的每个顶点对应 $G$ 中的每个面 $G^*$ 中的每条边连接两个顶点，这两个顶点对应于 $G$ 中相邻的两个面（即共享一条边的两个面） 对偶图有一些性质： ...

一些有趣的数学、物理、计算机问题 ...

EN553.762 Review. Based on Numerical Optimization Book ...

问题： 想象光滑的地面有两个静止的小滑块，左面有一堵质量无穷大的墙。左边的小滑块质量为 $1$。此时给右边的小滑块一个向左的速度，假设所有的碰撞都为完全弹性碰撞，请问总共的碰撞次数？（滑块之间的碰撞+左滑块和墙的碰撞） ...

Notes on doing derivatives w.r.t. matrix/vector ...

AA/EE/ME 578 Review ...

From ME 510 & AMATH 584 ...

Finding the best route between two cities, given a complicated road network; or transmitting a message between two computers along a network of hundreds of computers, are all classified as the shortest path problem. ...