生成函数与计数

问题: 对于集合 {1,2,,2000},有多少个子集满足子集中所有数字的和可以被 5 整除? 递推法 首先对集合进行分组 An={5n4,,5n}。对于任意 An,其子集中所有数字的和对 5 取余的结果与 A1 相同。可以得到结果为 0,1,2,3,4 的个数分别为 8,6,6,6,6。注意空集也满足条件(认为空集的所有数字和为 0)。 ...

January 25, 2025 · 2 min

风车问题

IMO 2011 年的第 2 题: 设 S 是平面上包含至少两个点的有限点集,并且其中任意三点不共线。定义一个「风车」过程:直线 lS 中一点 P 开始,绕 P 顺时针旋转,直到 l 碰到 S 中另一点 Q。此时 Q 变为 l 的新旋转中心,l 继续顺时针旋转,直到直线再次碰到 S 中的某一点。此过程将一直持续下去。证明可在 S 中选一点和过该点的一条直线,使得对应的「风车」过程中,S 中的所有点都将无限次地作为旋转中心。 ...

January 13, 2025 · 2 min

使用对偶图证明欧拉公式

使用 dual graph 证明欧拉公式:VE+F=2 对于一个 connected planar graph G,如下图蓝色部分所示,其所对应的 dual graph G 则为红色部分: G 的每个顶点对应 G 中的每个面 G 中的每条边连接两个顶点,这两个顶点对应于 G 中相邻的两个面(即共享一条边的两个面) 对偶图有一些性质: ...

January 5, 2025 · 1 min

一个计数谜题的意外答案

问题: 想象光滑的地面有两个静止的小滑块,左面有一堵质量无穷大的墙。左边的小滑块质量为 1。此时给右边的小滑块一个向左的速度,假设所有的碰撞都为完全弹性碰撞,请问总共的碰撞次数?(滑块之间的碰撞+左滑块和墙的碰撞) ...

January 15, 2021 · 2 min

巴塞尔问题:著名公式背后的几何学

问题: 证明 1+14+19+116+=π26 这一问题实际上有多种代数方法证明,但由于公式中出现了 π,则必定在几何学中可以找到圆来对应。 想象一位观察者站在数轴的原点,并在所有的正整数的位置放置一座灯塔。假设观察者接收到的第一座灯塔的亮度为 1。由于亮度和距离的平方成反比,则第 n 座灯塔的亮度为 1n2。这样我们就将原问题转化为了物理的表达形式,我们只需要证明原点所接收到的总亮度为 π26 即可。 ...

August 19, 2018 · 2 min

分圆问题:一个诡异的数列规律

问题: 在圆上任取 n 个点,将每对点用直线连接,并规定三条线不能交于一点,这些直线会将圆分割成多少份? 首先我们列出一些简单情况来寻找规律: 2 个点将圆分为 23 个点将圆分为 44 个点将圆分为 85 个点将圆分为 16 份 Simple Cases ...

August 14, 2018 · 1 min

形象展示傅里叶变换

想象你的麦克风在录制一段由四个纯音同时播放的音频,由于其只能捕捉气压——时间图像,因此最后的结果看起来相当复杂: Pressure-Time 如果给定这样一段音频,该如何将其分解为不同纯音的叠加? ...

August 12, 2018 · 2 min

如何优雅地解答最难数学竞赛的压轴题

问题: 在球面上随机选择四点组成四面体,问球心落在该四面体内部的概率? 首先将问题简化,考虑二维情形:在圆上随机选择三点 P1,P2,P3 组成三角形,求圆心落在该三角形内部的概率。 ...

August 10, 2018 · 2 min

用球面映射巧解分赃难题

问题: 一条项链上有 n 种类型的珠宝,每种珠宝的数量均为偶数。问至少需要切几刀,可以将所有珠宝均分? 首先介绍 Borsuk-Ulam Theorem: 想象一个三维空间中的球面被扭曲压缩到二维平面上,由于变形是连续的,因此球面上有许多点重合在了一起。Borsuk-Ulam 定理告诉我们总能找到这样的两个点,它们一开始在球面上处于完全相反的两极,经过映射后会重合在一起。 ...

August 8, 2018 · Updated: Jan 15, 2021 · 2 min

隐藏在素数规律中的 π

问题: 证明 π4=113+1517+19 113+1517+=01(1x2+x4)dx=0111+x2dx=tan1(1)=π4 我们选择从另外一种方式来得出这个等式,从圆的定义开始。 计算圆内格点数目 如果将二维平面划分为网格,并画出半径为 r 的圆,圆内包含的格点数应该大约等于 πr2,并且当 r+ 时,两者应该无限接近,这即给出了一个计算 π 的方法。 ...

August 8, 2018 · 2 min