问题（IMO 2011 年的第 2 题）：
设 $S$ 是平面上包含至少两个点的有限点集，且其中任意三点不共线。
定义一个「风车」过程：直线 $l$ 从 $S$ 中某点 $P$ 开始，绕 $P$ 顺时针旋转，直到 $l$ 碰到 $S$ 中另一点 $Q$。此时 $Q$ 变为 $l$ 的新旋转中心（轴点），$l$ 继续顺时针旋转，直到直线再次碰到 $S$ 中的某一点。此过程无限持续。
求证：可在 $S$ 中选一点和过该点的一条直线，使得在对应的「风车」过程中，$S$ 中的所有点都将无限次地作为旋转中心。
首先考虑直线变换旋转中心时的状态。
- 由于 $S$ 是有限集，因此由 $S$ 中任意两点确定的直线数量也是有限的。
- 此外，直线在旋转过程中具有确定的方向。
- 因此，「以某点为轴、沿某方向」的离散状态总数是有限的。
由于状态转移是确定且可逆的（即我们可以反向逆时针旋转回到上一状态），从任意一个状态出发，经过有限次变换后必将回到该状态。这说明风车过程必然包含一个循环。
原问题可转化为：是否存在一种初始状态，使得该循环周期包含 $S$ 中的所有点？
为了方便讨论，我们为直线定义一个方向，从而区分直线的「左侧」和「右侧」。在旋转过程中，我们观察到以下规律：
- 若直线碰到并「吃进」左侧的点作为新轴点，原先的轴点则被「吐出」到直线的左侧。
- 若直线碰到并「吃进」右侧的点，同理，原轴点会被「吐出」到右侧。
结论：在「风车」过程中，直线左侧（及右侧）的点的数量始终保持不变。这就是本题的核心不变量。
我们根据点集大小 $|S|$ 的奇偶性进行分类讨论，选择合适的初始直线以利用上述不变量。
当 $|S|$ 为奇数：$|S| = 2n + 1$。选取经过某点 $P$ 的直线，使得该直线左侧和右侧均恰好有 $n$ 个点。
- 当直线旋转 $180^\circ$ 后，其方向与初始方向相反。
- 由于不变量性质，当前直线的左侧和右侧依旧均有 $n$ 个点，所以直线必须过点 $P$。
- 同时，原直线的「左侧区域」变成了当前直线的「右侧区域」，即左右区域的点进行了位置互换。
- 由于直线是连续运动，对于任意一点，从一个区域变为另一个区域必须被直线扫过（即成为轴点）。
- 结论：当直线以此特定方式分割点集时，在一个 $180^\circ$ 的周期内，所有点都会被扫过，且直线回到初始位置。因此所有点都将无限次地作为旋转中心。
当 $|S|$ 为偶数：$|S| = 2n$。我们需要稍作调整：
- 定义直线上当前的轴点 $P$ 归属于「右侧」。
- 选取一条直线，使得左侧有 $n$ 个点，右侧有 $n$ 个点（包含轴点 $P$）。
- 旋转 $180^\circ$ 后，同理，直线左右两侧的点进行了位置互换。
- 此时轴点 $P'$ 虽然不再是初始点 $P$，但使其再转动 $180^\circ$，则会回到点 $P$。
- 结论：同样地，我们找到了一条直线，使其在转动 $360^\circ$ 后会回到初始位置，且所有的点都被扫过。
因此，无论 $|S|$ 奇偶，总存在一条直线使得风车过程遍历所有点。