问题：
如何使 $1+2+4+\cdots+2^n+\cdots=-1$ ？
全新定义距离函数，同时保持这一函数的平移不变性：
$$ \operatorname{dist}(A, B)=\operatorname{dist}(A+x, B+x) \quad \forall x $$首先假设 $0$ 与 $2^n$ 距离为 $2^{-n}$，之后通过平移不变性确定其它数的距离。
由此可知
$$ \lim_{n\to \infty} 2^n = 0 $$所以原问题
$$ 1+2+4+\cdots+2^n+\cdots = \lim_{n\to \infty} 2^n -1 = -1 $$实际上这是 $p$-adic number 在 p=2 下的结论。
给出正式定义：
let $p$ be a prime in $\mathbb{Z}$. The $p$-adic order for $\mathbb{Z}$ is defined as $v_p: \mathbb{Z}\to\mathbb{N}$
$$ v_p(n) = \begin{cases} \max\{v\in \mathbb{N}: p^v | n\} & \text{if } n\ne 0 \\ \infty & \text{if } n=0 \end{cases} $$The $p$-adic absolute value is defined as $|\cdot|_p$
$$ |x|_p=\begin{cases} p^{-v_p(x)} &\text{if } x\ne 0 \\ 0 &\text{if } x=0 \end{cases} $$A metric space then can be defined by
$$ d(x,y) = |x-y|_p $$