问题：
如何使 $1+2+2^2+\cdots=-1$？从已知的数学中拓展至新数学。
对于一个无限项求和：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 $$它的意义是：我们可以无限靠近 1。在几何上，如果将 0 至 1 的线段分成 $1-p$ 和 $p$ 的左右两断，然后对 $p$ 的线段继续进行此操作，可以得到：
$$ \begin{align*} &(1-p) + p(1-p) + p^2(1-p) \cdots = 1 \\ \implies & \sum_{n=0}^\infty p^n = \frac{1}{1-p} \end{align*} $$该式只在 $0
全新定义距离函数，同时保持这一函数的平移不变性：
$$ \operatorname{dist}(A, B)=\operatorname{dist}(A+x, B+x) \quad \forall x $$首先假设 $0$ 与 $2^n$ 距离为 $2^{-n}$，之后通过平移不变性确定其它数的距离。由此可知在新的距离函数下：
$$ \lim_{n\to \infty} 2^n = 0 $$原问题得证：
$$ 1+2+2^2+\cdots = \lim_{n\to \infty} 2^n -1 = -1 $$距离函数其实还需要满足一些其它的性质，比如非负性、对称性、三角不等式。这里只是为了展示如何拓展定义，使其能够兼容已经存在的数学形式，并且能够得到一些新的有趣的结论，从而发展成为一门新数学。
实际上这是 $p$-adic number 在 p=2 下的结论。给出正式定义：
let $p$ be a prime in $\mathbb{Z}$. The $p$-adic order for $\mathbb{Z}$ is defined as $v_p: \mathbb{Z}\to\mathbb{N}$
$$ v_p(n) = \begin{cases} \max\{v\in \mathbb{N}: p^v | n\} & \text{if } n\ne 0 \\ \infty & \text{if } n=0 \end{cases} $$The $p$-adic absolute value is defined as $|\cdot|_p$
$$ |x|_p=\begin{cases} p^{-v_p(x)} &\text{if } x\ne 0 \\ 0 &\text{if } x=0 \end{cases} $$A metric space then can be defined by
$$ d(x,y) = |x-y|_p $$