问题：
如何使 $1+2+2^2+\cdots=-1$？从已知的数学中拓展至新数学。
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = 1 $$$$ \begin{align*} &(1-p) + p(1-p) + p^2(1-p) \cdots = 1 \\ \implies & \sum_{n=0}^\infty p^n = \frac{1}{1-p} \end{align*} $$
该式只在 $0
首先假设 $0$ 与 $2^n$ 距离为 $2^{-n}$，之后通过平移不变性确定其它数的距离。由此可知在新的距离函数下：
$$ \lim_{n\to \infty} 2^n = 0 $$$$ 1+2+2^2+\cdots = \lim_{n\to \infty} 2^n -1 = -1 $$距离函数其实还需要满足一些其它的性质，比如非负性、对称性、三角不等式。这里只是为了展示如何拓展定义，使其能够兼容已经存在的数学形式，并且能够得到一些新的有趣的结论，从而发展成为一门新数学。
实际上这是 $p$-adic number 在 p=2 下的结论。给出正式定义：
$$ v_p(n) = \begin{cases} \max\{v\in \mathbb{N}: p^v | n\} & \text{if } n\ne 0 \\ \infty & \text{if } n=0 \end{cases} $$$$ |x|_p=\begin{cases} p^{-v_p(x)} &\text{if } x\ne 0 \\ 0 &\text{if } x=0 \end{cases} $$$$ d(x,y) = |x-y|_p $$