问题：
一条项链上有 $n$ 种类型的珠宝，每种珠宝的数量均为偶数。问至少需要切几刀，可以将所有珠宝均分？
首先介绍 Borsuk-Ulam Theorem：
想象一个三维空间中的球面被扭曲压缩到二维平面上，由于变形是连续的，因此球面上有许多点重合在了一起。Borsuk-Ulam 定理告诉我们总能找到这样的两个点，它们一开始在球面上处于完全相反的两极，经过映射后会重合在一起。
这一定理有一个经典的应用：地球上一定存在完全相对的某一对点，两处的气温和气压都恰好相同。因为地球上的每一点都对应着气温和气压两个值，这与将地球表面连续映射到二维坐标系上是一样的。
简单证明：
给定某个从球面到平面的连续函数 $f(x)$，我们的目标既是证明存在 $p$ 使得 $f(p) = f(-p)$。
定义 $g(x) = f(x) - f(-x)$，不难看出 $g$ 也是连续的并且是奇函数（关于原点对称）。此时我们只需证明球面上存在点 $p$ 使得 $g(p) = 0$ 即可。
考虑当点 $p$ 在球面“赤道”上行进一圈时，$g(p)$ 会在平面上形成某种闭合回路，由于 $g$ 关于原点对称，则该回路必经过原点或包围原点。若其经过原点，则证明完毕。若包围原点，想象球面上的大圈连续收缩至“极点”时，对应平面上的闭合回路也必定会连续收缩至某一点。因此必定存在某一时刻，$g(p)$ 经过原点，证明完毕。
为了阐述该定理如何应用到我们的问题上，首先将 Borsuk-Ulam 定理更严格写出：
$$ \begin{gather*} \text{For any continuous function } f: S^2\to \mathbb{R}^2 \\ \exists (x_1,x_2,x_3) \quad\text{s.t. } x_1^2+x_2^2+x_3^2=1 \\ f(x_1,x_2,x_3) = f(-x_1,-x_2,-x_3) \end{gather*} $$由于该定理适用于连续情况而项链分赃问题是离散的，首先我们将宝石想象为连续的线段。可以看出如果这一连续的问题能够解决，则离散的问题也自然解决。因为我们可以调整切割点的位置使其正好落在线段端点上。
考虑仅有 $2$ 种宝石的情况，令项链长度为 $1$ ，欲将球的方程与切割方法联系起来，令切割的三段长度分别为 $x^2, y^2, z^2$ ，并依据正负号决定将这一段长度分给 $A$ 或 $B$ 。这样就有 $x^2+y^2+z^2=1$ ，即球面上的每一点都对应一种分配方案。
更进一步地，我们构造这样的函数：输入一个给定的项链分配方案，输出两个数，分别对应其中一人得到的两种宝石数量。这其实就是从球面到平面的一个映射。由 Borsuk-Ulam 定理可知，一定存在一种分配方案使得 $A、B$ 在交换所分得的宝石后保持每种数量不变，也就是一种均分方案。
将这一定理拓展至高维情形：从一个 $n$ 维空间的超球面到 $n-1$ 维空间的连续映射也必须保证这样一对点的存在。因此对于 $n$ 种不同的宝石，只需要切 $n$ 刀便可进行均分。