问题：
假设一位音乐天才，对任何频率之比为有理数的一对音符都觉得悦耳，那么他是否会觉得所有的音符都是悦耳的？
详细说明：当一对音符的频率比为有理数且分母较小时，这样的音符称为「协和的」，会使我们觉得悦耳，当分母较大时，其中的规律便不容易被发现。我们假设一位音乐奇才可以听出任何频率之比为有理数的音符，由于对于无理数，总存在一个有理数无限接近于它，那么频率之比为无理数的音符对于他来说是否仍然悦耳呢？
先思考这样一个问题：在 $[0,1]$ 区间上使用无穷多个开区间覆盖有理数，能否使这些开区间的总长度小于 $1$ ？
虽然有理数是稠密的，但却是可数的，因此首先将数轴上的有理数可数列出，则每个有理数都可以用任意长度的开区间覆盖，令覆盖第 $n$ 个有理数的开区间长度为 $\dfrac{\epsilon}{2^n}$ ，则总区间长度为
$$ \epsilon\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n} + \cdots \right) = \epsilon $$由于 $\epsilon$ 可以任选，所以区间总长度可以任意小，这表明在数轴上任取一点为有理数的概率为 $0$ 。
回到原问题，即使是对音乐奇才来说，任取一对音符，他觉得该音符是悦耳的概率为 $0$ 。
实际上，覆盖某个集合的开区间长度总和的下界被称为勒贝格测度，在这里我们知道了有理数的勒贝格测度为 $0$ 。同时注意即使是不可数无限集合也可以是勒贝格测度为 $0$ 的。