问题：
假设一位音乐天才，认为任何频率之比为有理数的一对音符都是悦耳的，那么他是否会觉得所有的音符都是悦耳的？
详细说明：当一对音符的频率比为有理数且分母较小时，这样的音符称为「协和音」，我们听起来会觉得悦耳。当分母较大时，其中的规律便不容易被发现。我们假设这位音乐奇才可以辨别任何频率之比为有理数的音符。由于对于无理数，总存在有理数无限接近于它，那么频率之比为无理数的音符对于他来说是否仍然悦耳呢？
先思考这样一个问题：在 $[0,1]$ 区间上，能否使用无穷多个开区间覆盖所有有理数，并使这些开区间的总长度小于 1？
虽然有理数是稠密的，但却是可数的。因此，首先将数轴上的有理数依序排列，则每个有理数都可以用任意长度的开区间覆盖。令覆盖第 $n$ 个有理数的开区间长度为 $\dfrac{\epsilon}{2^n}$，则总区间长度为
$$ \epsilon\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots + \dfrac{1}{2^n} + \cdots \right) = \epsilon $$由于 $\epsilon$ 可以任意选取，所以开区间总长度可以任意小。这表明在数轴上随机选取一点为有理数的概率为 0。
回到原问题，对这位音乐奇才来说，随机选取一对音符，他觉得该音符悦耳的概率为 0。这意味着当分辨能力趋于无限时，反而可能觉得所有音乐都不好听。
实际上，覆盖某个集合的开区间长度总和的下界被称为勒贝格测度。在这里，我们得知有理数的勒贝格测度为 0。
- 在勒贝格测度中，任何可数集的测度都为 0。
- 不可数无限集合的勒贝格测度也可以是 0，比如康托尔集。