问题：
对于任意一条闭合连续曲线，是否总能找到曲线上的四个点，它们构成一个内接矩形？
首先，我们将注意力从单个点转向点对。利用矩形的一个性质：平面上任意两对不同的点 $(a, c)$ 和 $(b, d)$ 若具有相同的中点，且点 $a$ 与 $c$ 之间的距离等于点 $b$ 与 $d$ 之间的距离，则点 $a, b, c, d$ 可构成一个矩形。因此，寻找内接矩形的问题便转化为寻找满足上述条件的两对点。
我们定义一个函数 $f(A,B) = (x,y,z)$，它将闭合曲线上的点对 $(A,B)$ 映射到三维空间中的一个点。
设闭合曲线位于三维空间的 $xy$ 平面上。对于闭合曲线上的任意一对点 $(A,B)$，记它们的中点为 $M$，距离为 $d$。我们将位于中点 $M$ 正上方、距离为 $d$ 的点绘制出来：
对闭合曲线上的所有点对应用同样的操作，则在 $xy$ 平面上方形成了一个曲面：
值得注意的是，该映射有一个重要性质：对于曲线上的任意点 $X$， $f(X,X)=X$。这意味着由所有点对映射形成的曲面必然以原始闭合曲线为边界。同时可以看出，该曲面是连续的。
因此，原问题等价于证明由点对映射形成的曲面存在自相交，即存在两对不同的点对 $(A,B)$ 和 $(C,D)$，满足 $f(A,B) = f(C,D)$。
下一步，我们希望找到另一种曲面，它与闭合曲线上的点对存在一一对应关系。这样，点对到原曲面的映射就可以转换为这两个曲面之间的映射，从而通过分析映射的拓扑性质来证明自相交的存在。
闭合曲线上的点对可以区分为有序对 $(A,B) \ne (B,A)$ 和无序对 $(A,B) = (B,A)$。下面，我们将分别为这两种点对找到与之存在连续一一对应关系的曲面。
有序对：
- 我们将闭合曲线在某点切开并参数化为单位区间 $[0,1]$。曲线上的有序点对 $(A,B)$ 可以表示为 $[0,1] \times [0,1]$ 单位正方形中的一个点 $(a,b)$，其中 $A$ 对应参数 $a$， $B$ 对应参数 $b$。
- 注意到正方形的边界代表了重复的点对（例如 $(0,b)$ 与 $(1,b)$ 代表同一点对， $(a,0)$ 与 $(a,1)$ 代表同一点对）。通过将正方形的左右边界粘合，再将上下边界粘合，我们得到一个环面。
Transform Curves to Squares - 因此，环面上的每一个点都与闭合曲线上的有序点对存在一一对应且连续的映射关系。
无序对：
- 类似地，考虑闭合曲线上的无序点对。由于无序性 $(A,B)=(B,A)$，在 $[0,1] \times [0,1]$ 正方形中，对应点 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 被视为同一个点对。这相当于将正方形沿着对角线 $y=x$ 对折，保留下半部分三角形区域。
Transform to Unordered Point-Pairs 1 - 对折后的三角形区域，需要再对绿色边界进行粘合。为了对齐粘贴的方向，首先沿黄线切开，将其中一个小三角形进行翻转后重新拼接成为一个正方形。
Transform to Unordered Point-Pairs 2 - 现在对黄色边界进行粘贴。可以将其中一条黄边扭转并连接到另一条黄边，这样就得到了一个莫比乌斯带。即存在一个从莫比乌斯带到由无序点对映射形成的曲面的连续映射。
Transform to Unordered Point-Pairs 3 - 注意莫比乌斯带的红色边界对应的是 $(X,X)$ 形式的点对。
由于莫比乌斯带的边界（对应于 $(X,X)$ 形式的点对）必须被映射到原始的闭合曲线（位于 $xy$ 平面），而莫比乌斯带的内部（对应于不同的点对）被映射到平面上方的曲面区域，根据拓扑性质，从莫比乌斯带到三维空间的连续映射若将边界映射到平面曲线，其内部区域必然会与自身相交或与边界所在的平面区域相交，从而证明了映射曲面存在自相交点。
Update:
2020年的一项研究证明，对于光滑的闭合曲线，总能找到四个点构成一个内接矩形，且该矩形的长宽比可以是任意预设值。该定理的证明需要将点对的映射扩展到四维空间，除了中点坐标 $(x,y)$ 和距离 $d$，还需要考虑点对连线与某一固定方向（例如 $x$ 轴）的夹角 $\theta$，即将无序点对映射到四维空间中的点 $(x,y,d,\theta)$。