问题：

对于任意的闭合连续曲线，是否总能在其上找到四个点形成一个矩形？

首先我们不再关注单个而是成对的点，并利用矩形的性质：对于平面上任意两对不同的点 $a, c$ 和 $b, d$，只需确保它们有相同的中点，且 $a, c$ 间的距离等于 $b, d$ 点的距离，那么即可以保证这四个点可以组成矩形。这样寻找内接矩形问题就转化为了寻找两对点的问题。

我们定义一个函数 $f(A,B) = (x,y,z)$ 将环路上的点对映射到 3 维空间的一个点。

设闭合回路位于 3 维空间中的 $X$–$Y$ 平面上，对于给定的一对点，记它们中点为 $M$，距离为 $d$，将位于 $M$ 正上方 $d$ 个单位的点画出:

对环路上的所有点对进行同样的操作，则在平面上方画出了某种曲面：

注意一点重要的性质

$$ f(X,X) = X $$

即该曲面一定以环路为底。同时可以看出曲面必定连续。原问题等价于证明这一曲面存在自相交，即有两对不同的点对被映射到同一点。

下一步，我们希望找到另一种曲面，与环路上的点对存在一一对应关系，则点对到曲面的映射就可以转换为两个曲面的映射，从而证明自相交。

点对可分为两种：有序对 $(x,y)\ne (y,x)$ 和无序对 $(x,y) = (y,x)$，下面分别找到这两种分别对应的曲面。

有序对：

将环路在某一点切开并拉直为 $[0,1]$ 区间的 $X$ 轴，再用一个区间构成 $Y$ 轴，这样在 $[0,1]\times [0,1]$ 上的单位正方形中的点都对应于环路上的一对点。
注意在正方形的边界上存在重复的点对，因此将正方形的左右边界进行粘贴，再对上下边界进行粘贴，可以得到一个环面。
Transform Curves to Squares
该环面上的每一点都与环路上的有序对一一对应，且这种映射是连续的。

无序对：

同样先将环路中的点对映射至正方形，$(x,y) = (y, x)$ 意味着正方形上的点关于 $y=x$ 对称，先将其沿对角线对折成为三角形。
Transform to Unordered Point-Pairs 1
对三角形的边界进行粘贴，此时注意粘贴的方向性。首先沿黄线切开，将其中一个小三角形进行翻转并重新拼接成为一个正方形
Transform to Unordered Point-Pairs 2
对该正方形的黄色边界进行粘贴，为了保持方向一致，需要将其中一个边界扭转并连接到另一个边界上，这使我们得到了一个莫比乌斯带，该表面上的每一个点都与环路上的无序对一一对应
Transform to Unordered Point-Pairs 3
注意莫比乌斯带的红色边界对应的是 $(x,x)$ 这样的点对