问题：
在球面上随机选择四点组成四面体，问球心落在该四面体内部的概率？
首先将问题简化，考虑二维情形：在圆上随机选择三点 $P_1, P_2, P_3$ 组成三角形，求圆心落在该三角形内部的概率。
进一步我们思考将 $P_1, P_2$ 固定，仅考虑 $P_3$ 的选取，可以发现，如果分别过 $P_1, P_2$ 以及圆心做直线，仅当 $P_3$ 位于 $P_1, P_2$ 对应的弧上才能使得 $\triangle P_1P_2P_3$ 包含圆心。
因此这一概率为 $P_1, P_2$ 所对应的弧长除以圆周长，而弧长又与 $P_1, P_2$ 的选择有关，当该两点相距较近时，这一弧长趋向于 $0$ ，而当距离较远时，弧长趋向于一半的圆周长。由于 $P_1, P_2$ 的选择随机，因此这一段弧长与圆周长的平均之比为 $\frac{1}{4}$ ，也就是说三角形包含圆心的概率是 $\frac{1}{4}$ 。
自然地，我们希望将这一方法推广至三维情况：固定三个点，寻找第四个点的位置使得该四面体包含球心。分别连接固定的三点与球心，可以看出第四点必须落在这三点对面所形成的的球面三角形上，因此我们需要找到这一球面三角形的平均面积。
但这一面积的计算并不像二维那样直观，因此我们回退到最初解决二维问题的时候，我们使用了连线的做法。因此一个很自然的想法即是：不再考虑随机的三个点，而是随机的两条过圆心的直线，并在每条直线与圆的两个交点中任选一点，共有 $4$ 种选法。对于给定的第三点来说，$4$ 种选法仅有一种可以保证三角形包含圆心，因此概率为 $\frac{1}{4}$ 。
这一推导过程可以顺利地推广至三维：不考虑随机的四个点，而是随机的三条过球心的直线，由于三点共有 $8$ 种选法而只有一种可以确保四面体包含球心，因此概率为 $\frac{1}{8}$ 。