问题：
在圆上任取 $n$ 个点，将每对点用直线连接，并规定三条线不能交于一点，这些直线会将圆分割成多少份？
首先我们列出一些简单情况来寻找规律：
- $2$ 个点将圆分为 $2$ 份
- $3$ 个点将圆分为 $4$ 份
- $4$ 个点将圆分为 $8$ 份
- $5$ 个点将圆分为 $16$ 份
看起来这个数列的规律非常明显：每增加一个点，分割的份数都将乘二。然而，当点数增加到 $6$ 个的时候，分割的份数不是我们预料的 $32$ ，而是 $31$ 。
为了找到这个数列的通项公式，我们使用欧拉示性数公式（Euler’s Characteristic Formula）来进行推导：
$$ V-E+F=2 $$这个公式的意思是，在任何连通平面简单图中，顶点数减去边数加上面数总是等于 $2$ 。
为了利用这个公式得到分割的份数即面数，我们需要先求出顶点和边的数量。
首先求顶点数：圆内的每个交点都对应圆上的四个点交叉相连，因此圆内的交点共有 $C^n_4$ 个，加上圆上的 $n$ 个点，因此 $V=n+C^n_4$ 。
再求边数：圆内的每个交点的度数为 $4$ ，度数是与点相连的边的个数，圆上的每个点都与除此之外的点相连，因此度数为 $n-1$ ，所以总度数为 $4C^n_4+n(n-1)$ ， 由于每条边对于总度数的贡献为 $2$ ，再加上连接圆上顶点的弦的数量，最后得到边的数量 $E=2C^n_4+C^n_2+n$ 。
将结果代入到欧拉公式，并考虑到圆外区域算为一个面，则分割的份数为：
$$ \begin{equation*} \begin{split} F-1 &= E-V+2-1 \\ &= (2C^n_4+C^n_2+n)-(n+C^n_4)+1 \\ &= C^n_4+C^n_2+1 \end{split} \end{equation*} $$由排列组合公式，上式可以继续分解：
$$ C^n_4+C^n_2+1 = C^{n-1}_4+C^{n-1}_3+C^{n-1}_2+C^{n-1}_1+C^{n-1}_0 $$这也就解释了当 $n<6$ 的时候结果总是成 $2$ 的幂次。