问题：

在圆上任取 $n$ 个点，将每对点用直线连接，并规定三条线不能交于一点，这些直线会将圆分割成多少份？

首先我们列出一些简单情况来寻找规律：

$2$ 个点将圆分为 $2$ 份
$3$ 个点将圆分为 $4$ 份
$4$ 个点将圆分为 $8$ 份
$5$ 个点将圆分为 $16$ 份

看上去这个数列的规律已经非常明显，然而，当点数增加到 $6$ 个的时候，分割的份数不是我们预料的 $32$，而是 $31$。

$$ V-E+F=2 $$

这个公式的意思是，在任何连通平面图中，顶点数减去边数加上面数总是等于 $2$。

为了利用这个公式得到分割的份数即面数，我们需要先求出顶点和边的数量。

首先求顶点数：圆内的每个交点都对应圆上的四个点交叉相连，因此圆内的交点共有 $C(n, 4)$ 个，加上圆上的 $n$ 个点，因此 $V=n+C(n, 4)$。

再求边数：圆内的每个交点的度数为 $4$，度数是与点相连的边的个数，圆上的每个点都与除此之外的点相连，因此度数为 $n-1$，所以总度数为 $4C(n, 4)+n(n-1)$，由于每条边对于总度数的贡献为 $2$，再加上连接圆上顶点的弦的数量，最后得到边的数量 $E=2C(n, 4)+C(n, 2)+n$。

$$ \begin{equation*} \begin{split} F-1 &= E-V+2-1 \\ &= (2C^n_4+C^n_2+n)-(n+C^n_4)+1 \\ &= C^n_4+C^n_2+1 \end{split} \end{equation*} $$$$ C^n_4+C^n_2+1 = C^{n-1}_4+C^{n-1}_3+C^{n-1}_2+C^{n-1}_1+C^{n-1}_0 $$

这也就解释了当 $n<6$ 的时候结果总是成 $2$ 的幂次。

分圆问题：一个诡异的数列规律

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