问题：
证明 $1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$
这一问题实际上有多种代数方法证明，但由于公式中出现了 $\pi$ ，则必定在几何学中可以找到圆来对应。
想象一位观察者站在数轴的原点，并在所有的正整数的位置放置一座灯塔。假设观察者接收到的第一座灯塔的亮度为 $1$ 。由于亮度和距离的平方成反比，则第 $n$ 座灯塔的亮度为 $\dfrac{1}{n^2}$ 。这样我们就将原问题转化为了物理的表达形式，我们只需要证明原点所接收到的总亮度为 $\dfrac{\pi^2}{6}$ 即可。
初看上去，我们只不过是将原问题换了一个描述方法，但是这一描述方法真正有用的地方在于它能够进一步提出问题：是否能够重新排列这些灯塔而不改变观察到的总亮度？即将问题转化成更易求解的等价形式。
想象二维平面的某一点有一座灯塔，连接该灯塔与原点，再经过灯塔作一条垂线，最后在这条线和坐标轴的两个交点上放置灯塔，如下图所示：
由倒数勾股定理可知，$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{h^2}$ 。即原灯塔的亮度等于 $A, B$ 灯塔的亮度之和。
现在有了在不改变亮度的条件下更改灯塔位置的方法，可以将原问题转化为下列形式:
想象观察者在周长为 $2$ 的圆上的一点并正对着一座灯塔，则灯塔的亮度为 $\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{\pi^2}{4}$ 。作一个与小圆在观察者处相切的两倍大的圆，并过小圆顶端作切线，将原先的灯塔替换为位于切线与大圆交点上的两座灯塔。
因为直径所对应的圆周角为直角，由倒数勾股定理可知，这两座灯塔的亮度之和等价于原灯塔亮度。继续重复此过程，将两座灯塔变为四座：
同时由对称性可以证明这四座灯塔在圆上等距分布，相邻灯塔的距离为 $2$ 。将这一过程无限进行下去，即得到了一条水平线，在两个方向上均匀分布着无限座灯塔，亮度总和依旧为 $\dfrac{\pi^2}{4}$ 。这个结果等价于下式：
$$ \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left(\frac{1}{2k+1}\right)^2 = \frac{\pi^2}{4} $$由于
$$ \begin{gather*} \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k}\right)^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2k}\right)^2 \\ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k}\right)^2 + \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2k+1}\right)^2 = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k}\right)^2 \end{gather*} $$因此
$$ \begin{equation*} \begin{split} \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k}\right)^2 &= \frac{1}{4}\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{k}\right)^2 + \frac{\pi^2}{8} \\ &= \frac{\pi^2}{8}\times\frac{4}{3} \\ &=\frac{\pi^2}{6} \end{split} \end{equation*} $$