隐藏在素数规律中的 $\pi$

问题:

证明 \(\dfrac{\pi}{4} = 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\cdots\)


使用简单的微积分可以得到: \[ \displaylines{\begin{aligned} 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\cdots &= \int_0^1 (1-x^2+x^4-\cdots)dx \\ &= \int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}dx \\ &= \tan^{-1}(1) \\ &= \dfrac{\pi}{4} \end{aligned} } \] 我们选择从另外一种方式来得出这个等式,从圆的定义开始。

计算圆内格点数目

如果将二维平面划分为网格,并画出半径为 \(r\) 的圆,圆内包含的格点数应该大约等于 \(\pi r^2\) ,并且当 \(r\rightarrow+\infty\) 时,两者应该无限接近,这即给出了一个计算 \(\pi\) 的方法。

考虑经过格点的圆,由于格点的坐标都为整数,因此我们只需要考虑那些半径是整数平方根的圆即可。

Lattices inside Circle

考虑半径为 \(R\) 的圆,如果能找到整数 \(a,b\) 使得 \(R^2 = a^2+b^2\) ,则该圆经过点 \((a,b)\) ,将其拓展至复平面: \[ \displaylines{R^2 = a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi) } \] 形如 \(a+bi \quad (a,b\in R)\) 的数被称为高斯整数,因此寻找圆经过的格点问题就转化为寻找特定的高斯整数,使其与自身的复共轭相乘为半径的平方问题。

在高斯整数上分解质因数

下一步我们需要了解一个数如何在高斯整数上分解。

我们已经知道每个正整数都可以以唯一的方式进行素数分解,因此我们只需要考虑素数在高斯整数上的分解问题。

例如 \(5\) 可以被分解为 \((2+i)(2-i)\) ,而 \((2+i)\) 无法在高斯整数上继续分解,这样的数被称为高斯素数。除了让因子乘以 \(-1,i,-i\) 之外,素数在高斯整数上的分解是唯一的。

费马平方和定理可知,除了 \(2\) 之外,只有形如 \(p=4n+1\quad (n\in N)\) 的素数可以在高斯整数中分解。

因此将半径的平方进行高斯素数全分解后,计算有多少种分配方式能将其因子分为互为复共轭的两对,即是计算该圆经过了多少个格点。

计算半径为 \(R\) 的圆上的格点数:

  1. \(R^2\) 进行质因数分解:\(R^2=3^4\cdot5^3\cdot13^2\)
  2. 将形如 \(p=4n+1\) 的素数继续在高斯整数上分解:\(5,13\)
  3. 将最后的因子分为两列,使其互为复共轭,由于 \(p=4n+1\) 的素数可以分解为一对共轭的高斯素数,它们所提供的分配方式总是它们的指数加 \(1\) 。而对于 \(p=4n+3\) 的素数而言,只有当它们的指数为偶数时才能刚好进行分配。因此对于本例,分配方式共有 \(1 \times (3+1) \times (2+1)\) 种。
  4. 由于因子可以乘以 \(-1,i.-i\) ,分配方式需要再乘以 \(4\)
  5. 特殊地 \(2=(1+i)(1-i)\) ,但 \(i(1+i)=(1-i)\) 已经被上一步包括,因此 \(2\) 不影响总分配形式。

定义函数 \(\chi\)

\[ \displaylines{\chi(n) = \begin{cases} 1 \quad &n=4k+1 \\ -1 \quad &n=4k+3 \quad (k\in N) \\ 0 \quad &n=2k \end{cases} } \]

注意 \(\chi(n)\) 有可积性:\(\chi(ab) = \chi(a)\cdot\chi(b)\)

有了这一函数,我们可以将 \(a^b\) 对应的分配方式写为 \(\chi(1)+\chi(a)+\chi(a^2)+\cdots+\chi(a^b)\)

因此将半径的平方进行素数分解后再用 \(\chi\) 函数进行替代,并利用可积性合并,记半径为 \(R\) 的圆经过的格点数记为 \(\# LP_R\)\[ \displaylines{\begin{aligned} R^2&=a^b\cdot c^d \\ \#LP_R&=4[\chi(1)+\chi(a)+\cdots+\chi(a^b)][\chi(1)+\chi(c)+\cdots+\chi(c^d)] \\ &= 4[\chi(1)+\chi(a_1)+\cdots+\chi(a_n)] \end{aligned} } \] 其中 \(1, a_1, \cdots, a_n\)\(R^2\) 的所有因子。

证明

有了上述结论,我们就可以计算半径为 \(R\) 的圆内的格点数: \[ \displaylines{\sum_{r=1}^{R} \#LP_r } \]\(R\rightarrow+\infty\) 时,在 \(1\)\(R^2\) 的所有整数中,有因子 \(k\) 的概率为 \(\dfrac{1}{k}\) 。因此: \[ \displaylines{\begin{aligned} \sum_{r=1}^{R} \#LP_r &= 4R^2\left[\chi(1)+\dfrac{\chi(2)}{2}+\dfrac{\chi(3)}{3}+\cdots\right] \\ &= \pi R^2 \end{aligned} } \] 所以: \[ \displaylines{\begin{aligned} \dfrac{\pi}{4} &= \chi(1)+\dfrac{\chi(2)}{2}+\dfrac{\chi(3)}{3}+\cdots \\ &= 1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{9}-\cdots \end{aligned} } \] 得证。


参考:

  1. Video
  2. Proofs of Fermat's Theorem on Sums of Two Squares
  3. Gaussian Integer