音乐与测度论有什么关系

问题:

假设一位音乐天才,对任何频率之比为有理数的一对音符都觉得悦耳,那么他是否会觉得所有的音符都是悦耳的?

详细说明:当一对音符的频率比为有理数且分母较小时,这样的音符称为「协和的」,会使我们觉得悦耳,当分母较大时,其中的规律便不容易被发现。我们假设一位音乐奇才可以听出任何频率之比为有理数的音符,由于对于无理数,总存在一个有理数无限接近于它,那么频率之比为无理数的音符对于他来说是否仍然悦耳呢?


先思考这样一个问题:在 \([0,1]\) 区间上使用无穷多个开区间覆盖有理数,能否使这些开区间的总长度小于 \(1\)

虽然有理数是稠密的,但却是可数的,因此首先将数轴上的有理数可数列出,则每个有理数都可以用任意长度的开区间覆盖,令覆盖第 \(n\) 个有理数的开区间长度为 \(\dfrac{\epsilon}{2^n}\) ,则总区间长度为 \[ \displaylines{\epsilon\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots + \dfrac{1}{2^n} + \cdots \right) = \epsilon } \] 由于 \(\epsilon\) 可以任选,所以区间总长度可以任意小,这表明在数轴上任取一点为有理数的概率为 \(0\)

回到原问题,即使是对音乐奇才来说,任取一对音符,他觉得该音符是悦耳的概率为 \(0\)

实际上,覆盖某个集合的开区间长度总和的下界被称为勒贝格测度,在这里我们知道了有理数的勒贝格测度为 \(0\) 。同时注意即使是不可数无限集合也可以是勒贝格测度为 \(0\) 的。


参考:

  1. Video
  2. Lebesgue Measure