希尔伯特曲线

问题:

如何将二维的图像转化为音乐?


在数学上,即是要寻找一个从像素空间映射到频率空间的一个函数。

首先定义 PHC (Pseudo-Hilbert Curve):将正方形划分为 \(2\times 2\) 的网格,画出如下图所示的曲线,称为 Order 1 PHC ,记为 \(PHC_1\)

PHC 1

进一步将正方形划分为 \(4\times 4\) 的网格,分别画出 \(4\)\(PHC_1\) 并首尾相接,之后进行调整,得到 Order 2 PHC ,记为 \(PHC_2\)

PHC 2

如此继续下去,希尔伯特曲线就是这一族曲线的极限 \[ \displaylines{HC(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} PHC_n(x) } \] 回到原问题,将图像划分并使用希尔伯特曲线将所有像素串连,曲线上的每一点都对应了一个频率,那么我们就有了一个从像素空间到频率空间的映射。

但为什么这样的曲线就比其它的曲线更加实用?

因为随着图像的不断细分,图像上的一点所对应的频率会趋向一个特定的值。即是说明图像像素的提高并不会完全改变对应的音乐。

希尔伯特曲线的特点:

  1. 良定义的:极限存在
  2. 连续的
  3. 空间填充的


参考:

  1. Video
  2. Hilbert Curve