如何优雅地解答最难数学竞赛的压轴题

问题:

在球面上随机选择四点组成四面体,问球心落在该四面体内部的概率?


首先将问题简化,考虑二维情形:在圆上随机选择三点 \(P_1, P_2, P_3\) 组成三角形,求圆心落在该三角形内部的概率。

进一步我们思考将 \(P_1, P_2\) 固定,仅考虑 \(P_3\) 的选取,可以发现,如果分别过 \(P_1, P_2\) 以及圆心做直线,仅当 \(P_3\) 位于 \(P_1, P_2\) 对应的弧上才能使得 \(\triangle P_1P_2P_3\) 包含圆心。

How to Select Points to Contain the Center

因此这一概率为 \(P_1, P_2\) 所对应的弧长除以圆周长,而弧长又与 \(P_1, P_2\) 的选择有关,当该两点相距较近时,这一弧长趋向于 \(0\) ,而当距离较远时,弧长趋向于一半的圆周长。由于 \(P_1, P_2\) 的选择随机,因此这一段弧长与圆周长的平均之比为 \(\dfrac{1}{4}\) ,也就是说三角形包含圆心的概率是 \(\dfrac{1}{4}\)

自然地,我们希望将这一方法推广至三维情况:固定三个点,寻找第四个点的位置使得该四面体包含球心。分别连接固定的三点与球心,可以看出第四点必须落在这三点对面所形成的的球面三角形上,因此我们需要找到这一球面三角形的平均面积。

但这一面积的计算并不像二维那样直观,因此我们回退到最初解决二维问题的时候,我们使用了连线的做法。因此一个很自然的想法即是:不再考虑随机的三个点,而是随机的两条过圆心的直线,并在每条直线与圆的两个交点中任选一点,共有 \(4\) 种选法。对于给定的第三点来说,\(4\) 种选法仅有一种可以保证三角形包含圆心,因此概率为 \(\dfrac{1}{4}\)

这一推导过程可以顺利地推广至三维:不考虑随机的四个点,而是随机的三条过球心的直线,由于三点共有 \(8\) 种选法而只有一种可以确保四面体包含球心,因此概率为 \(\dfrac{1}{8}\)


参考:

  1. Video
  2. A different writeup of the solution