最速降线问题

问题:

在只考虑重力作用的情况下,一质点从点 A 沿某条曲线到点 B,问怎样的曲线能使所需时间最短?


这一问题被称为最速降线问题(Brachistochrone),由约翰·伯努利在 1696 年提出来挑战欧洲的数学家。

费马原理与斯涅耳定律

约翰·伯努利的证明实际上非常巧妙,利用了费马原理

一束光从 A 点传播到 B 点总是沿着尽可能快的路径。

从费马原理实际上可以导出斯涅尔定律(Snell's Law)

考虑光线跟一条垂直于两介质边界所成的角度,该角的正弦值除以光速在从一种介质移到另一种介质时保持不变。 \[ \displaylines{\dfrac{\sin(\theta_1)}{v_{\text{air}}} = \dfrac{\sin(\theta_2)}{v_{\text{water}}} } \] Snell's Law

光的传播

因此原问题可以想象为一束光在不同折射率的介质中传播,既以不同的速度连续地沿着滑道向下走:

Equivalence to Light Refraction

当层数不断增加,我们就得到的想要的路径。

有能量守恒原理,重力势能转化为动能,因此: \[ \displaylines{v = \sqrt{2gy} } \] 又根据斯涅尔定律可得: \[ \displaylines{\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{y}} = \text{constant} } \] 这就是我们要求的曲线方程。

摆线

这一曲线方程实际上就是旋轮线,即滚动的轮子边缘上的一点所描出的形状。

圆上定点为 P,圆与水平线的切点为 C,圆滚动时,点 C 充当点 P 的瞬时旋转中心:

Instant Rotation Center

所以 CP 垂直于摆线过点 P 的切线,又因直角圆周角对应直径,所以该切线一定过圆的最低点,交点与 C 的连线即为圆的直径:

Tangent Crosses the Lowest Point on Circle

设直线与切线的夹角为 \(\theta\) ,根据相似三角形,我们可以算出点 P 到水平线的距离:

Distance from P to C\[ \displaylines{\dfrac{\sin(\theta)}{\sqrt{y}} = \dfrac{1}{\sqrt{D}} = \text{constant} } \] 由此证明最速降线实际上就是摆线。

变分法

从数学的方法思考这一问题,设曲线方程为 \(y=y(x)\) ,速度与纵坐标有 \(v=\sqrt{2gy}\) 的关系,同时 \[ \displaylines{v = \dfrac{ds}{dt} = \sqrt{1+y'^2} \dfrac{dx}{dt} } \] 其中 \(s\) 代表曲线的弧长,\(t\) 表示时间,于是 \[ \displaylines{dt = \dfrac{\sqrt{1+y'^2}}{v}dx = \dfrac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}dx } \] 所以从 A 到 B 的时间为 \[ \displaylines{t = J(y) = \int_A^B \dfrac{\sqrt{1+y'^2}}{\sqrt{2gy}}dx } \] 这样时间 \(t\) 就被写成了关于 \(y\) 的泛函,而求时间最短问题变成了在满足边界条件 \[ \displaylines{y(A) = 0, y(B) = y_B } \] 下的对泛函 \(J(y)\) 求极值问题,即变分问题。

考虑对泛函 \(J(y) = \int_b^a F(x,y,y')dx\) 变分 \[ \displaylines{\begin{aligned} \delta J(y) &= J(y+\delta y) - J(y) \\ &= \int_a^b \left[\dfrac{\partial F}{\partial y}\delta y + \dfrac{\partial F}{\partial y'}\delta y'\right]dx \\ &= \int_a^b \left[\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\right) \right] \delta y dx \end{aligned} } \]\(\delta J(y) = 0\) 即得 \[ \displaylines{\dfrac{\partial F}{\partial y} - \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0 } \] 将上述方程代入,即将变分问题转化为了微分方程问题,解此微分方程即得所求曲线。


参考:

  1. Video
  2. Brachistochrone Curve
  3. 变分法