巴塞尔问题:著名公式背后的几何学

问题:

证明 \(1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}\)


这一问题实际上有多种代数方法证明,但由于公式中出现了 \(\pi\) ,则必定在几何学中可以找到圆来对应。

想象一位观察者站在数轴的原点,并在所有的正整数的位置放置一座灯塔。假设观察者接收到的第一座灯塔的亮度为 \(1\) 。由于亮度和距离的平方成反比,则第 \(n\) 座灯塔的亮度为 \(\dfrac{1}{n^2}\) 。这样我们就将原问题转化为了物理的表达形式,我们只需要证明原点所接收到的总亮度为 \(\dfrac{\pi^2}{6}\) 即可。

Basel Problem in Different Form

初看上去,我们只不过是将原问题换了一个描述方法,但是这一描述方法真正有用的地方在于它能够进一步提出问题:是否能够重新排列这些灯塔而不改变观察到的总亮度?即将问题转化成更易求解的等价形式。

想象二维平面的某一点有一座灯塔,连接该灯塔与原点,再经过灯塔作一条垂线,最后在这条线和坐标轴的两个交点上放置灯塔,如下图所示:

Equivalent Transformation from 1 Lighthouse to 2

倒数勾股定理可知,\(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}=\dfrac{1}{h^2}\) 。即原灯塔的亮度等于 \(A, B\) 灯塔的亮度之和。

现在有了在不改变亮度的条件下更改灯塔位置的方法,可以将原问题转化为下列形式:

想象观察者在周长为 \(2\) 的圆上的一点并正对着一座灯塔,则灯塔的亮度为 \(\dfrac{1}{d^2}=\dfrac{\pi^2}{4}\) 。作一个与小圆在观察者处相切的两倍大的圆,并过小圆顶端作切线,将原先的灯塔替换为位于切线与大圆交点上的两座灯塔。

Equivalence in Circles

因为直径所对应的圆周角为直角,由倒数勾股定理可知,这两座灯塔的亮度之和等价于原灯塔亮度。继续重复此过程,将两座灯塔变为四座:

Repeating Process

同时由对称性可以证明这四座灯塔在圆上等距分布,相邻灯塔的距离为 \(2\) 。将这一过程无限进行下去,即得到了一条水平线,在两个方向上均匀分布着无限座灯塔,亮度总和依旧为 \(\dfrac{\pi^2}{4}\) 。这个结果等价于下式: \[ \displaylines{\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{2k+1}\right)^2 = \dfrac{\pi^2}{4} } \] 由于 \[ \displaylines{\dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{k}\right)^2 = \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{2k}\right)^2 \\ \sum_{k=1}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{2k}\right)^2 + \sum_{k=0}^{+\infty}\left(\dfrac{1}{2k+1}\right)^2 = \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{k}\right)^2 } \] 因此 \[ \displaylines{\begin{aligned} \sum_{k=1}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{k}\right)^2 &= \dfrac{1}{4}\sum_{k=1}^{+\infty} \left(\dfrac{1}{k}\right)^2 + \dfrac{\pi^2}{8} \\ &= \dfrac{\pi^2}{8}\times\dfrac{4}{3} \\ &=\dfrac{\pi^2}{6} \end{aligned} } \]


参考:

  1. Video
  2. Basel Problem